.RU

§ Формула Планка для расчета параметров теплового излучения абсолютно черного тела. Анализ и применение


ПРОБЛЕМЫ ЧТЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ В КУРСЕ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Постараемся выяснить, что же может быть понятным при изучении квантовой механики.

В создании квантовой механики применен новый методологический прием. При построении квантово-механических физических величин используются аналогии с величинами классической физики. Хотя постоянно присутствует оговорка о том, что эти аналогии с классикой не следует воспринимать буквально.

На наш взгляд, используя метод аналогий в квантовой механике, можно стремиться к пониманию лишь того, почему при создании того или иного квантово-механического объекта использована именно такая аналогия с классикой. С какой стати то или иное предположение могло прийти в голову гениальному физику? В квантовой механике это единственный вопрос, на который разумно искать ответ.

Если постараться, то можно до конца понять и то, почему метод аналогий с классикой не в состоянии обеспечить полного понимания законов микромира, но это сложнее.
^ § 1. Формула Планка для расчета параметров теплового излучения абсолютно черного тела. Анализ и применение
1. Формула М. Планка

Итак, квантовая механика появилась в тот момент, когда физики были вынуждены признать идею Макса Планка о проявлении квантовых свойств электромагнитного поля при его взаимодействии с веществом. Имеется в виду теоретическая формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела.

,

здесь rνTdν – энергия электромагнитного излучения, выделяемая в единицу времени с единицы поверхности абсолютно черного тела, разогретого до абсолютной температуры T вблизи частоты ν в интервале частот dν, π – число пи, с – скорость света в вакууме, h – фундаментальная константа, которая впервые появилась в этой формуле и получила название постоянной Планка.

При выводе этой формулы М. Планком впервые был применен метод аналогий с классикой для процессов очевидно далеких от этих вынужденных сравнений. Согласно аналогиям, использованным при выводе формулы Планка, оказывается, что произведение постоянной Планка на частоту излучения равно порции энергии цуга электромагнитного поля, которому поставили в соответствие энергию «частицы» (кванта) электромагнитного поля, взаимодействующего с веществом. Пришлось предположить, что при распространении в вакууме или в среде электромагнитное поле ведет себя как волновой процесс, а при взаимодействии с веществом поле ведет себя как поток частиц.

Впервые в истории физики Макс Планк не вывел с помощью некоторой «разумной» модели, а отгадал вид формулы, соответствующей экспериментальному графику физического процесса. Совпадение теоретических (по Планку) и экспериментальных констант (постоянная Стефана–Больцмана и постоянные Вина) получилось превосходным. (Сначала из экспериментального закона Стефана–Больцмана была получена постоянная Планка, а затем расчет постоянных Вина по формулам Планка совпал с экспериментом). Но именно сама методология получения формулы вызвала в ученом мире физиков эмоциональный шок, получивший в гуманитарной литературе наименование «ультрафиоле-товой катастрофы».

Вряд ли в курсе общей физики технического вуза целесообразно повторять вслед за Планком те доводы, которые приходили гениальному физику в голову при построении своей формулы. Навык анализа подобных формул может возникнуть у студентов позже, после освоения курсов теории вероятностей, статистической физики, математической статистики и т.п. (Эти курсы в техническом университете традиционно читаются позже чтения обсуждаемого материала в курсе общей физики). Но сообщить об использованном сравнении распределения энергии квантов по частоте и энергии молекул газа по высоте в силовом (гравитационном: распределении Максвелла–Больцмана) поле можно. И пытливый студент сможет самостоятельно проследить вывод Планка в свое время, ознакомившись с вероятностными и статистическими курсами.

2. Расчет констант экспериментальных законов теплового излучения абсолютно черного тела с помощью формулы Планка

а) получение экспериментальной постоянной Стефана–Больцмана с помощью формулы Планка

Известен экспериментальный закон Стефана – Больцмана:

R=σT4.

где R – интегральная излучательная способность абсолютно черного тела при температуре Т, [R]=, т.е. R - это вся энергия электромагнитного излучения, излучаемая на всех частотах шкалы электромагнитных волн в единицу времени с единицы площади нагретого вещества абсолютно черного тела (АЧТ).

σ – постоянная Стефана–Больцмана.


М.Планк получил формулу спектральной плотности излучательной способности абсолютно черного тела rνT=, т.е. энергии электромагнитного излучения, излучаемой в интервале dν на частоте ν шкалы электромагнитных волн в единицу времени с единицы площади нагретого вещества абсолютно черного тела при температуре Т (рис.3.1). Формула Планка идеально совпала с экспериментальной кривой, поэтому, если взять интеграл от формулы Планка по всем частотам, мы получим интегральную излучательную способность АЧТ, которая должна совпасть с экспериментальной.


rrrνT





10-13 10-12 10-11 10-10 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 λ


Рис. 3.1.




Итак, R=. Сделаем замену переменной

Формула для R преобразуется к виду

, откуда, поскольку ;

.

Константа Планка h впервые была рассчитана по этой формуле с помощью экспериментальной константы Стефана – Больцмана.

б) нахождение экспериментальной константы b закона смещения Вина для АЧТ с помощью формулы М.Планка

Для того, чтобы получить закон смещения Вина из формулы Планка, перейдем от переменной ν к переменной λ: ν=, dν=.

Подставляя значения ν и dν, выраженные через λ, получим:

.

Исследуя эту функцию на экстремум, имеем:

=0

Введя замену переменной – x=, приходим к трансцендентному уравнению xex – 5(ex–1)=0. Решение этого уравнения методом последовательных приближений дает x=4,965, откуда следует экспериментальный закон Вина: x==4,965, или Tλmax==b. Закон получен, причем экспериментальная и расчетная константы совпали.

в) получение второго закона Вина с помощью формулы Планка

Подставляя значение λmax в формулу Планка, получаем . Согласно экспериментальному закону Вина , тогда . Закон получен, причем экспериментальная и расчетная константы совпали.

§ 3. Примеры решения задач

а) решение задач на экспериментальные законы теплового излучения АЧТ

Задача. Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излучению абсолютно черного тела, для которого максимум испускательной способности приходится на длину волны 0,48 мкм. Найти массу, теряемую Солнцем в одну секунду за счет излучения. Оценить время, за которое масса Солнца уменьшится на один процент.

Связь между массой и энергией задает формула Эйнштейна Е=mc2. Энергию излучения найдем с помощью экспериментального закона Стефана – Больцмана: R=σT4. Чтобы решать задачи на экспериментальные законы теплового излучения, полезно проанализировать смысл физической величины – излучательной способности через ее размерность: [R]=. Излучательная способность R – это энергия, излучаемая единицей поверхности нагретого тела в единицу времени. Таким образом, если σ умножить на температуру Солнца Тс в четвертой степени, то в предположении, что Солнце излучает так же, как АЧТ, мы получим величину энергии Rc, теряемой Солнцем на излучение в единицу времени с единицы площади. Умножая Rc на площадь поверхности Солнца Sc и на время излучения, мы получим энергию, теряемую Солнцем за это время на излучение. Е=Rc∙t ∙Sc=σ∙T4∙t ∙Sc. Площадь поверхности Солнца мы рассчитаем в приближении его идеально шарообразной формы: Sc=4π, где r – средний радиус Солнца. Температуру получим с помощью первого закона Вина Т=. Итак, выразим энергию через заданные в задаче и табличные величины:

Е =σ∙4∙t ∙4π=mc2.

Из полученного равенства выражаем массу, теряемую Солнцем на излучение за одну секунду: =5∙109кг.

Чтобы оценить в секундах время, за которое Солнце потеряет за счет энергии излучения один процент своей массы, массу одного процента массы Солнца, поделим на массу, которую Солнце теряет за одну секунду: 0,01Мс/m≈1011 лет.

б) решение задач теплового излучения АЧТ с применением формулы Планка

Задача. Найти с помощью формулы Планка плотность потока излучения единицы поверхности АЧТ, приходящегося на узкий интервал длин волн Δλ=1,0 нм вблизи максимума спектральной плотности излучения, при температуре тела Т=300 К.


Плотностью потока излучения единицы поверхности нагретого тела называют излучательную способность тела. Энергия ΔR, излучаемая с единицы поверхности нагретого тела в единицу времени в интервале длин волн от λmax–Δλ/2 до λmax+Δλ/2 по смыслу функции М. Планка равна интегралу от нее по этому интервалу: . В данной задаче интегрирование можно заменить нахождением площади прямоугольника высотой, равной r(T,λmax) и шириной, равной Δλ, поскольку точность такой замены много выше точности измерения температуры, заданной в условии задачи. Используя первый закон Вина, T∙λmax=b, имеем: =0,31 Вт/см2.

15-needukovanij-kirkorov-sobranie-sochinenij-v-pyati-tomah-tom-chetvertij.html
15-nezavisimo-petdesyatno-dvizhenie-tinchevisti-uvod-2-istoriografiya-i-izvorov-material-4-glava-1-protestantskite.html
15-o-zvukovom-markirovaniikulturnogo-landshaftai-prostranstva-etnokulturi.html
15-oblast-primeneniya-radionavigacionnogo-plana-gosudarstv-sng-radionavigacionnij-plan-gosudarstv-uchastnikov-sodruzhestva.html
15-obstoyatelstvennie-t-n-malchevskaya-sbornik-uprazhnenij-po-perevodu-gumanitarnih-tekstov-s-anglijskogo-yazika.html
15-ocenka-velichini-yamr-signala-1-1-moment-kolichestva-dvizheniya.html
  • doklad.bystrickaya.ru/vidacha-aktov-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-zemleustroitelnoe-proektirovanie-dlya-specialnosti.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/ekonomicheskaya-effektivnost-vneshnih-investicij-ekon-effektivnostvn-vneshn-investichii-v-progrechii-azerbaydjanskoy-ekonomiki-v-obraze-grajdanskoy-aviachii-chast-2.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/zayavlenie-zapolnyaetsya-pechatnimi-bukvami.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tema-3-individualnaya-psihologiya-a-adlera-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline.html
  • urok.bystrickaya.ru/prizrak-doma-na-holme-stranica-9.html
  • essay.bystrickaya.ru/diagnostika-ekologicheskih-znanij-doshkolnikov.html
  • testyi.bystrickaya.ru/5mineralno-sirevoj-potencial-v-rajone-hajdarkanskogo-rtutnogo-kombinata-7.html
  • desk.bystrickaya.ru/okultnata-sila-na-kopieto-pronizalo-grdite-na-hristos-stranica-22.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/zakon-sohraneniya-mehanicheskoj-energii.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/mani-i-manihejstvo-l-s-vasilev-istoriya-religij-vostoka.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-5-razvitie-i-evolyuciya-lichnosti-praktikum-po-psihologii-lichnosti-seriya-praktikum-po-psihologii.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/shumovoe-zagryaznenie-sredi.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/zapiski-po-blgarskite-vstaniya-stranica-11.html
  • kanikulyi.bystrickaya.ru/zhizn-i-tvorchestvo-novalisa-kak-paradigma-romanticheskogo-mirooshusheniya.html
  • essay.bystrickaya.ru/diplomaticheskie-stranica-11.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/rassvet-stranica-18.html
  • notebook.bystrickaya.ru/kalendar-rabochih-dnej-dbo-rukovodstvo-operatora-klienta-versiya-ot.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/vmoem-kratkom-predislovii-ya-tolko-hochu-rasskazat-chitatelyu-ob-istorii-etoj-knigi-izlagayushej-esteticheskuyu-filosofiyu-kandinskogo-o-duhovnom-v-iskusstve-stranica-3.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/vsluhru-strategii-razvitiya-subektov-rf-nuzhdayutsya-v-peresmotre-27092010.html
  • gramota.bystrickaya.ru/zakon-turkmenistana.html
  • holiday.bystrickaya.ru/neznajka-s-druzyami-sobralsya-letet-na-lunu-zaplanirovali-otlet-cherez-tri-dnya-v-16-chasov-30-minut-do-etogo-dnya-kazhdomu-iz-druzej-bilo-porucheno-zadanie-prig.html
  • turn.bystrickaya.ru/polozhenie-sostavleno-v-sootvetstvii-s-gos-vpo-po-specialnosti-yurisprudenciya-stranica-3.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/prilozheniya-godovoj-otchet-oaomrsk-severo-zapada-po-itogam-raboti-za-2011-god.html
  • report.bystrickaya.ru/klassifikaciya-iskusstvennogo-osvesheniya-1-sreda-obitaniya-cheloveka.html
  • abstract.bystrickaya.ru/2-obshie-trebovaniya-k-uchebnim-planam-strategiya-modernizacii.html
  • literatura.bystrickaya.ru/spisok-shpilmana-kniga-bila-najdena-v-arhivah-otkritogo-dostupa-seti-internet-ili-prislana-polzovatelyami-sajta.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/poyavlenie-georgiya-bolshakova-adskaya-igra-sekretnaya-istoriya-karibskogo-krizisa-1958-1964.html
  • pisat.bystrickaya.ru/tema-3-stanovlenie-uchyota-kak-nauki-i-i-2010.html
  • nauka.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-speckurs-opd-delovoe-obshenie-specialnost-032600-050401-65-istoriya.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/pravila-povedeniya-v-biznese-i-rekomendacii-mezhdunarodnoj-torgovoj-palati-izdanie-2005.html
  • predmet.bystrickaya.ru/sartr-zh-p-bitie-i-nichto-opit-fenomenologicheskoj-ontologii-zhan-pol-sartr-per-v-i-kolyadko-stranica-23.html
  • essay.bystrickaya.ru/chitatelyu.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/metodicheskie-rekomendacii-k-vipolneniyu-vipusknih-kvalifikacionnih-rabot-dlya-studentov-pedagogicheskih-kolledzhej-sostaviteli-avdievskaya-v-v-kozireva-g-g-kurilenko-v-m-solpova-n-v-yumanova-t-i-stranica-4.html
  • gramota.bystrickaya.ru/zasedanie-soveta-rsh-v-tehnopolise-himgrad.html
  • esse.bystrickaya.ru/programma-sorevnovanij.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.